전자기학에서 맥스웰 방정식은 전계와 자계 대한 4가지 방정식을 기본으로 한다.

학습한 내용을 토대로 글을 작성하며 편의상 a를 편미분 기호로 사용한다.

1. ▽×H = i + aD/at

직선전류에 의해 발생되는 자계의 선적분은 전전류와 같다.

암페어의 주회적분 법칙을 보면 ∫ H dl = ∑ I 에서 자계의 폐루프 선적분은 폐루프 내의 전류와 같다는 법칙이 있다. 전류가 직선전류에 흐르는 경우 직선 주변에 자기장이 형성되는데 반대로 형성된 자기장의 적분은 폐루프 내부 전류를 나타낸다.

전류밀도 i[A/㎡]는 전류 I[A] 를 면적S[㎡]으로 나눈 값 즉, i = I/S 에서 전류 I = i S 이므로

전류밀도 i를 면적에 대해 적분을 취하면 전류가 된다. I = ∫ i ds

전류밀도 i 는 전도전류밀도와 변위전류밀도를 포함하므로 i = ic + id 를 위 식에 적용하면

I = ∫ (ic + id) ds = ∫ H dl 이 된다.

스토크스 정리를 사용하여 선적분의 면적분으로 나타내게 되면

 ∫ H dl = ∫ ▽×H ds 가 되고, ∫ ▽×H ds = ∫ (ic + id) ds 가 되어

양변을 미분하여 적분을 없애면 다음 식이 얻어진다.

▽×H = ic + id 여기서 변위전류밀도 id는 전속밀도D의 미분으로 얻어지므로

▽×H = i + aD/at 가 된다.

2. ▽×E = -aB/at

폐회로 내에서 자속이 변화하면 기전력이 발생한다.

패러데이의 전자유도법칙 e = - dΦ/dt 에서 자속Φ[Wb]는 자속밀도B[Wb/㎡]와 면적S[㎡]의 곱이 된다. Φ = BS

이를 적분식으로 나타내면 Φ = ∫ B ds 이므로 전자유도법칙의 식에 대입해보면

e = -d/dt ∫ B ds = - ∫ aB/at ds 가 된다.

전계 E[V/m]에서 기전력 e는 전계를 선적분 하여 얻으므로 e = ∫∫ E dl 이 되니 e대신 ∫ E dl를 대입하면

∫ E dl = - ∫ aB/at ds 가 되고 마찬가지로 좌변에 스토크스 정리를 적용하면

∫ ▽×E ds = - ∫ aB/at ds 가 되어 양변을 미분하면 다음 식이 얻어진다.

▽×E = - aB/at

3. ▽ · D = p

자속밀도의 발산은 그 발산되는 폐곡면 내의 전하밀도와 같다.

진공중에 점전하Q가 있다고 가정하면 점전하에서 전기력선이 모든 방향으로 발산되는 형태로 뻗어나가게 된다. 이 때 공 모양의 가우스 곡면을 설정하면 곡면을 통과해 발산하는 모든 전속은 곡면 내부의 전하와 같다는 의미가 되며, 전하는 단독으로 존재할 수 있으므로 전계E는 불연속적이게 된다.

4. ▽ ·  B = 0

자속밀도의 발산은 존재하지 않는다.

자극은 항상 N극과 S극이 동시에 존재하게 된다. 자기력선은 N극에서 나와 모든 자기력선이 S극으로 들어가는데 그렇기 때문에 자극은 N, S극이 단독으로 존재할 수 없게 되고 N극이 있다면 어딘가에 반드시 S극이 존재한다. 자극이 단독으로 존재하지 않으므로 자기력선의 발산은 없게 되며, N극에서 S극으로 향하는 자계는 연속적이게 된다.

[타인글이나 자료 인용] 김상훈 저 전자기학